С начала XIX века найдено около полумиллиона вавилонских глиняных табличек, из них несколько тысяч носят математический характер.

Самым известным примером вавилонской математики является табличка Plimpton 322, названная так потому, что имеет номер 322 в Плимптонской коллекции Колумбийского Университета.

Считается, что эта табличка была написана между 1800 – 1650 гг. до н. э., на ней изображена таблица из четырёх столбцов и пятнадцати строк чисел, записанных клинописью того периода. Таблица оказалась списком пифагоровых чисел, то есть чисел, являющихся решениями теоремы Пифагора.

Глиняная табличка Plimpton 322 частично сломана, приблизительно 12,7 см в ширину, 8,8 см в высоту и 2 см толщиной. Артефакт изображает таблицу, состоящую из 15 строк и 4 столбцов с клинописными знаками. Левая сторона артефакта отломана, но ученые установили, что в оригинале полный текст тригонометрической таблицы содержал 6 колонок и 38 строк.

Нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон купил табличку у археологического дилера Эдгара Дж. Бэнкса примерно в 1922 году за 10 долларов и завещал его остальной части своей коллекции в Колумбийском университете в середине 1930-х годов. По словам Бэнкса, табличка происходит из Сенкереха, места на юге Ирака, соответствующего древнему городу Ларса. Американский дипломат и коллекционер древностей Эдгар Бэнкс в 1898 г. заступил на пост американского консула в Багдаде и, помимо службы, занимался тем, что сотнями скупал древние клинописные глиняные таблички у «черных копателей» и перепродавал их музеям.

Робсон (2002) пишет, что почерк, используемый для клинописного сценария в табличке, «типичен для документов из южного Ирака 4000-3500 лет назад». Более конкретно, основываясь на сходстве с другими табличками из Ларсы, у которых есть явные даты, написанные на них, возраст Plimpton 322 вполне может соответствовать периоду 1822-1784 гг. до н.э. Робсон указывает, что Plimpton 322 был написан в том же формате, что и другие административные, а не математические документы того периода.

Основное содержание Plimpton 322 представляет собой таблицу чисел с четырьмя столбцами и пятнадцатью строками в вавилонской шестидесятиричном исчислении. Четвертый столбец – это просто номер строки, от 1 до 15. Второй и третий столбцы полностью видны в сохранившемся планшете. Однако край первого столбца был прерван, и есть две последовательные экстраполяции, из-за которых могут отсутствовать цифры. Эти интерпретации различаются только тем, начинается ли каждое число с дополнительной цифрой, равной 1.

4-й столбец состоит из двух колонок.

Последний столбец (с несколькими естественными интерполяциями для учета недостающих символов для 5, 6 и 15) просто выводит строку числовых данных. В первой колонке 4-го столбце написано слово произносится ki, которое можно свободно перевести здесь как число, так что две колонки четвертого столбца вместе означает: номер 1, номер 2 и т. д. Просто перечисляют номера строк данных. Интерполяции зеленого цвета.

Для остальных столбцов показываем по порядку исходный столбец, шестидесятеричные числа, записанные в условных обозначениях, а затем десятичные эквиваленты. Коррекции ошибок красным. Как интерполяции, так и исправления объясняются позже. Все нули также интерполируются, так как у вавилонян в это время их не было.

2-й столбец. Заголовок второго столбца включает слово ширина.

3-й столбец. Заголовок третьего столбца содержит слово диагональ.

1-й столбец. Заголовок первого столбца не был переведен. Мы сразу увидим причины размещения «десятичной точки».

Что это значит

Следуя, возможно, намекам, указанным в диагонали и ширине слова, Нойгебауэр и Сакс обнаружили, что если w – это запись во втором столбце, а d – запись в третьем столбце, то во всех случаях, кроме нескольких случаев, получился d2 w2 совершенный целый квадрат l2. Другими словами, предполагая, что исключения вызваны ошибкой, эта таблица содержит часть списка пифагорейских троек, то есть целых чисел w, l, d

w2 + l2 = d2,

которые образуют стороны правильных треугольников. Вот результирующая таблица расчетов, в современной нотации (с расхождениями в квадратных скобках):

Немного позже подтвердим эту теорию, объяснив ошибки.

Что касается первого столбца, он содержит значения d2 / l2. Например, в первой строке d = 169, l = 120 и d2 / l2 = 1,9834 … = 1,59,0,15.

Как была изготовлена таблица

Как различаются пифагорейские троицы в этой таблице? Если (A, B, C) является пифагорейской тройкой, то мы можем записать ее как (ma, mb, nc), где (a, b, c) является примитивной пифагорейской тройкой, в которой числа взаимно просты в парах. Примитивные пифагорейские троицы параметризуются парами целых чисел (p, q), удовлетворяющих этим условиям:

p и q оба положительные;

p больше q;

Одно из них нечетное, другое – четное;

p и q взаимно просты.

Пара (p, q) порождает тройку (p2 – q2, 2pq, p2 + q2) . Пара (p, q) легко восстанавливается из (a, b, c) формулами p2 = (a + c) / 2, q = b / 2p.

Ниже приведены значения p, q и m для тройки в таблице:

 

Отношение c / b равно (p2 + q2) / 2pq = (1/2) (p / q + q / p). Поэтому это отношение, квадрат которого появляется в первом столбце таблички, будет иметь конечное выражение в основании 60, если 1 / p и 1 / q. Вавилонцы почти наверняка поняли разницу между конечными разложениями и повторными конечномерными разложениями, и в частности мы нашли таблицы обратных 1 / p для многих значений p, где разложение конечно. Такие числа p называются регулярными по Neugebauer. Вероятно, не случайно, что значения как p, так и q, связанные с рядами таблички, являются регулярными, и фактически, что во всех случаях, кроме одного, разложения 1 / p и 1 / q появляются в найденных таблицах взаимности. Поэтому представляется правдоподобным, что вавилоняне знали, как создавать примитивные пифагорейские тройки.

Мы знаем кое-что о том, как была построена табличка, но мы точно не знаем, почему она была построена. Порядок упорядочения строк по размеру первого столбца предполагает, что он мог быть использован в ранней форме тригонометрии. Возможно, он был построен из пифагорейских тройках только для упрощения арифметики.

Как бы то ни было наше нынешнее неполное знание вавилонской математики не вызывает сомнений: мы имеем дело с уровнем математического развития, который во многих отношениях можно сравнить с математикой, скажем, раннего Возрождения. (О. Нейгебауэр в Точных науках в древности)

Учет ошибок

В качестве подтверждения как интерпретации таблицы, так и этой гипотезы относительно p и q могут быть разумно объяснены четыре очевидные ошибки:

  1. Число [9, 1] в строке 9 должно быть [8, 1] – простая ошибка копирования.
  2. [7,12,1] в строке 13 является квадратом [2,41], что было бы правильным значением – ошибку, которую легко сделать, поскольку квадраты также появляются в гипотетическом расчете.
  3. Правильное значение для замены [53] в строке 15 – [1,46], что вдвое превышает ошибочное значение.
  4. Что касается четвертой ошибки в строке 2, где [3,12,1] встречается вместо [1,20,25], было предложено несколько предложенных решений. Никто не является абсолютно убедительным. Возможность, предложенная Гиллингсом, предполагает, что те, кто составлял таблицу, имели значения p и q.

После расшифровки клинописных знаков оказалось, что на глине записана последовательность Пифагоровых троек. Долгое время ученые не могли прийти к единому мнению, для каких целей служила эта табличка.

На самом деле это тригонометрическая таблица на основе совершенно не известного нам метода, которая опередила свое время на 3000 лет, – утверждает профессор Мэнсфилд. – Plimpton 322  является мощным вычислительным инструментом, его использовали для архитектурных расчетов при строительстве дворцов, храмов, ступенчатых пирамид, прокладки каналов и точного определения границ земельных владений. Исследования австралийских математиков опубликовано в журнале Historia Mathematica.

До сих пор, греческий астроном Гиппарх, живший во втором веке до нашей эры, по мнению исследователей, считался одним из основателей тригонометрии. Исследования австралийских математиков показывает, что Plimpton 322 описывает формы прямоугольных треугольников, используя другой подход, основанный на пропорциях, а не треугольниках и кругах. Это потрясающая математическая работа, которая демонстрирует гениальность вавилонян. Табличка не только содержит древнейшую тригонометрическую таблицу в мире — это также единственная абсолютно точная таблица благодаря подходу вавилонян к арифметике и геометрии. Это означает, что эту науку открыли на тысячу лет раньше, чем считалось, говорят ученые университета Нового Южного Уэльса.

Тригонометрия представляет собой раздел математики, который изучает соотношения между сторонами и углами треугольников.

В Вавилоне пользовались не десятичной, а шестидесятиричной системой исчисления. Старая вавилонская система лучше подходит для точных тригонометрических расчетов, поскольку современная десятичная допускает слишком большую погрешность.